Développement de techniques de diagnostic non intrusif par tomographie optique

Résumé

Que ce soit dans les domaines des procédés industriels ou de l’imagerie médicale, on a assisté ces deux dernières décennies à un développement croissant des techniques optiques de diagnostic. L’engouement pour ces méthodes repose principalement sur le fait qu’elles sont totalement non invasives, qu’elle utilisent des sources de rayonnement non nocives pour l’homme et l’environnement et qu’elles sont relativement peu coûteuses et faciles à mettre en oeuvre comparées aux autres techniques d’imagerie. Une de ces techniques est la Tomographie Optique Diffuse (TOD). Cette méthode d’imagerie tridimensionnelle consiste à caractériser les propriétés radiatives d’un Milieu Semi-Transparent (MST) à partir de mesures optiques dans le proche infrarouge obtenues à l’aide d’un ensemble de sources et détecteurs situés sur la frontière du domaine sondé. Elle repose notamment sur un modèle direct de propagation de la lumière dans le MST, fournissant les prédictions, et un algorithme de minimisation d’une fonction de coût intégrant les prédictions et les mesures, permettant la reconstruction des paramètres d’intérêt. Dans ce travail, le modèle direct est l’approximation diffuse de l’équation de transfert radiatif dans le régime fréquentiel tandis que les paramètres d’intérêt sont les distributions spatiales des coefficients d’absorption et de diffusion réduit. Cette thèse est consacrée au développement d’une méthode inverse robuste pour la résolution du problème de TOD dans le domaine fréquentiel. Pour répondre à cet objectif, ce travail est structuré en trois parties qui constituent les principaux axes de la thèse. Premièrement, une comparaison des algorithmes de Gauss-Newton amorti et de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) est proposée dans le cas bidimensionnel. Deux méthodes de régularisation sont combinées pour chacun des deux algorithmes, à savoir la réduction de la dimension de l’espace de contrôle basée sur le maillage et la régularisation par pénalisation de Tikhonov pour l’algorithme de Gauss-Newton amorti, et les régularisations basées sur le maillage et l’utilisation des gradients de Sobolev, uniformes ou spatialement dépendants, lors de l’extraction du gradient de la fonction coût, pour la méthode BFGS. Les résultats numériques indiquent que l’algorithme de BFGS surpasse celui de Gauss-Newton amorti en ce qui concerne la qualité des reconstructions obtenues, le temps de calcul ou encore la facilité de sélection du paramètre de régularisation. Deuxièmement, une étude sur la quasi-indépendance du paramètre de pénalisation de Tikhonov optimal par rapport à la dimension de l’espace de contrôle dans les problèmes inverses d’estimation de fonctions spatialement dépendantes est menée. Cette étude fait suite à une observation réalisée lors de la première partie de ce travail où le paramètre de Tikhonov, déterminé par la méthode «L-curve », se trouve être indépendant de la dimension de l’espace de contrôle dans le cas sous-déterminé. Cette hypothèse est démontrée théoriquement puis vérifiée numériquement sur un problème inverse linéaire de conduction de la chaleur puis sur le problème inverse non-linéaire de TOD. La vérification numérique repose sur la détermination d’un paramètre de Tikhonov optimal, défini comme étant celui qui minimise les écarts entre les cibles et les reconstructions. La démonstration théorique repose sur le principe de Morozov (discrepancy principle) dans le cas linéaire, tandis qu’elle repose essentiellement sur l’hypothèse que les fonctions radiatives à reconstruire sont des variables aléatoires suivant une loi normale dans le cas non-linéaire. En conclusion, la thèse démontre que le paramètre de Tikhonov peut être déterminé en utilisant une paramétrisation des variables de contrôle associée à un maillage lâche afin de réduire les temps de calcul. Troisièmement, une méthode inverse multi-échelle basée sur les ondelettes associée à l’algorithme de BFGS est développée. Cette méthode, qui s’appuie sur une reformulation du problème inverse original en une suite de sous-problèmes inverses de la plus grande échelle à la plus petite, à l’aide de la transformée en ondelettes, permet de faire face à la propriété de convergence locale de l’optimiseur et à la présence de nombreux minima locaux dans la fonction coût. Les résultats numériques montrent que la méthode proposée est plus stable vis-à-vis de l’estimation initiale des propriétés radiatives et fournit des reconstructions finales plus précises que l’algorithme de BFGS ordinaire tout en nécessitant des temps de calcul semblables. Les résultats de ces travaux sont présentés dans cette thèse sous forme de quatre articles. Le premier article a été accepté dans l’International Journal of Thermal Sciences, le deuxième est accepté dans la revue Inverse Problems in Science and Engineering, le troisième est accepté dans le Journal of Computational and Applied Mathematics et le quatrième a été soumis au Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Dix autres articles ont été publiés dans des comptes-rendus de conférences avec comité de lecture. Ces articles sont disponibles en format pdf sur le site de la Chaire de recherche t3e (www.t3e.info).

Date	7 août 2015
langue originale	Français
Établissement diplômant	École de technologie supérieure
Superviseur	Daniel Rousse (Directeur(-trice)), Benoit Rousseau (Codirecteur(-trice)) & Yann Favennec (Codirecteur(-trice))