Modélisation numérique des écoulements à surface libre avec bancs couvrants-découvrants par les volumes finis et la décomposition orthogonale aux valeurs propres

Résumé

Les inondations causées par les ruptures de barrages, les crues et les tsunamis sont d’une violence de plus en plus accrue et il importe de considérer avec plus d’attention les études relatives à la protection contre ce fléau. Les mesures préventives contre les inondations consistent généralement en des actions sur les cours d’eau à travers la canalisation des débits, en des aménagements tels que les digues de protection, les barrages écrêteurs de crues ou les canalisations d’évacuation. La mise en oeuvre de telles mesures de protection nécessite l’intervention de l’hydraulicien dans la modélisation et la prédiction de la dynamique des écoulements caractérisant les inondations. L’objectif principal de cette thèse est de proposer un modèle numérique explicite de simulation des écoulements à surface libre en général et des inondations en particulier et de construire un modèle numérique d’ordre réduit subséquent pour des calculs accélérés. Cet objectif est atteint à travers la discrétisation des équations d’eaux peu profondes par les volumes finis et la réduction des équations discrétisées par projection de Galerkin sur des bases obtenues par la technique de décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Le modèle numérique aux volumes finis est adapté à la simulation adéquate des bancs couvrants et découvrants qui représentent des phénomènes caractérisant les écoulements d’inondation. Leur prise en compte sur des bathymétries réelles fortement irrégulières est restée longtemps un défi. En effet les bancs couvrants et découvrants se manifestent par le mouvement des interfaces entre le mouillé et le sec. Ces zones de discontinuité où le niveau tend à s’annuler peuvent être internes (apparition d’îlots) ou externes et leur traitement est très souvent source d’instabilités numériques pouvant se traduire par une génération d’hauteurs d’eau négatives ou de vitesses irréalistes. Dans cette étude, les équations de Saint-Venant sont considérées dans leur forme de base de sorte à éviter l’intégration du terme source de géométrie. Ce terme est obtenu dans la démarche courante par éclatement du terme englobant les forces de gravité (car ne respectant pas la forme divergente stricte) en un terme de pression et en un terme source de variation de la géométrie. Il est proposé une approximation locale du terme source de gravité de sorte à en obtenir une forme divergente permettant de l’inclure dans le flux d’interface. Un schéma de Lax-Friedrichs avec un terme de dissipation artificielle est utilisé pour le calcul des flux aux interfaces. Le calcul du flux est adapté selon la nature sèche ou mouillée de la cellule courante. La technique de correction locale de la surface libre est utilisée afin de palier la création d’un gradient de niveau d’eau au voisinage des zones sèches, phénomène responsable de flux non-physiques et d’instabilités numériques. Cette technique permet de conserver la condition du fluide au repos ou la C-property. En outre, les calculs symétriques aux interfaces assurent au modèle la conservation globale de la masse. La construction d’un modèle d’ordre réduit de simulation des écoulements à surface libre répond à la nécessité d’accélération des calculs pour la prise en compte des incertitudes liées aux paramètres physiques utilisés. En effet, les paramètres tels que la bathymétrie, le débit, le coefficient de frottement régissant les écoulements réels ne peuvent être saisis avec précision du fait de leur variabilité naturelle. Dans une gestion efficace des risques d’inondation, des calculs répétitifs doivent prendre en compte les incertitudes sur ces paramètres physiques et ce à travers une analyse probabiliste. Cette démarche peut être très coûteuse en temps de calculs lorsqu’un modèle explicite avec plusieurs milliers de degrés de liberté est utilisé. Le modèle d’ordre réduit (ROM) proposé est basé essentiellement sur la réduction du schéma aux volumes finis à travers la projection de Galerkin des équations discrétisées. Les équations sont projetées sur un sous-espace engendré par des bases obtenues par la décomposition orthogonale aux valeurs propres des matrices des snapshots des variables d’intérêt. Les matrices des snapshots sont obtenues par stockage d’un certain nombre de solutions numériques du problème étudié durant le temps de simulation. Des approximations des termes non linéaires relatifs au flux de convection et de la vitesse d’onde sont effectuées pour la réalisation d’un modèle réduit effectif. Le coût des calculs avec le ROM dépend essentiellement de la dimension de la base réduite. Le modèle aux volumes finis s’est montré précis et robuste à travers les tests de validation effectués notamment dans la simulation des bancs couvrants et découvrants sur une bathymétrie réelle complexe. Par ailleurs, les résultats obtenus du ROM sont assez proches des résultats issus du modèle aux volumes finis pour la phase de reproduction. Lors de la phase d’exploitation, l’analyse de sensibilité a montré que pour des perturbations raisonnables des conditions et paramètres initiaux (moins de 50% pour le niveau d’eau initial), le ROM simule de façon concluante chaque nouveau scénario. Les résultats restent satisfaisants et le temps de calcul très appréciable relativement au schéma volumes finis. Il ressort en définitive que le modèle d’ordre réduit ici proposé peut être d’une aide précieuse à l’ingénieur pour la simulation d’écoulements hypothétiques et éventuellement la définition de cartes d’inondation.

Date	20 déc. 2011
langue originale	Français
Établissement diplômant	École de technologie supérieure
Superviseur	Azzeddine Soulaïmani (Directeur(-trice))